06.10.2021 – 11.00 – La matematica tesse relazioni tra i concetti attraverso un linguaggio formalmente ineccepibile: che descriva il comportamento di un fluido o il moto di un corpo sotto particolari forze, ogni relazione passa al vaglio dei segni matematici. Meglio: è esattamente l’insieme di segni che la rappresentano, ne verifica le operazioni e gli assunti logico-sintattici, esaudisce i principi e le strutture della logica formale che è il solido impianto a fondamento della matematica. Vi è però una distanza irriducibile tra la forma e l’interpretazione: anche se tutte le leggi grammaticali sono rispettate, una noce di significati supera il valico tracciato da quei mansueti segni, trabocca dall’universo dei principi e delle strutture e, sgorgando nel reale, se ne fa rappresentazione. Il linguaggio matematico si attaglia alla realtà, verificando con implacabile severità se i suoi modelli possano codificarne porzioni e segmenti.
Un metodo comune dell’analisi matematica è quello di studiare il comportamento di un oggetto interpretandolo attraverso una funzione matematica. Ora, può accadere che dell’oggetto da indagare non conosciamo l’aspetto, ma che siamo in grado di dire qualcosa su alcune sue proprietà. In tal caso, l’oggetto diventa l’incognita di un problema, che viene costruito utilizzando come dati le proprietà note, tradotte in linguaggio matematico attraverso opportune uguaglianze o disuguaglianze. Questo metodo, che dalla conoscenza di attributi e definizioni secondarie deduce l’esistenza dell’incognita, somiglia a un’indagine investigativa: le proprietà note sono preziose tracce dell’oggetto colpevole, che si arriva a smascherare mediante tecniche di risoluzione puramente matematiche. A volte si scopre che l’oggetto indagato ha la forma dell’equazione di una superficie, altre di una traiettoria che descrive moti celesti, altre ancora non è possibile determinarlo esplicitamente, e ci si accontenta, con gioia infinita, di aver dimostrato che tale oggetto esiste; in ogni caso, partendo da un problema ben posto, l’esistenza dell’oggetto da studiare viene dedotta, in modo sorprendente, mediante la pura manipolazione di segni matematici: è esso stesso nelle maglie di quei segni, imbrigliato nel linguaggio matematico che lo circoscrive e lo identifica.
Di recente all’Università degli Studi di Trieste e di Valenciennes, tra il polo di Scienze economiche, aziendali e statistiche e quello di Matematica, una particolare equazione differenziale è stata utilizzata per descrivere la geometria della cornea umana1. Una precedente versione di questo problema conteneva un’equazione semplificata2 3; in quest’ultimo studio, due ipotesi sono state generalizzate per adattare meglio il problema ai dati sperimentali, dedotti dalla biologia del corpo umano.
In tal caso, l’oggetto da scovare è la cornea dell’occhio umano (in termini tecnici: una precisa superficie), modellizzata come una membrana e la cui forma è rappresentata dal grafico di una certa funzione. L’analisi matematica ha una teoria sterminata delle superfici; quando lo spazio è tridimensionale, tali oggetti vengono a coincidere con l’idea intuitiva che tutti noi abbiamo di superficie; ma la matematica ne ha per ogni dimensione, per cui è possibile trovare superfici N-dimensionali – le cosiddette ipersuperfici. Questi oggetti sono perfettamente sensati dal punto di vista matematico, anche se la nostra mente, pensata per concepire visivamente solo lo spazio tridimensionale, non è in grado di visualizzarli. Tornando al problema della cornea, la sua equazione risulta ben posta anche in dimensione superiore a 3. Naturalmente, la cornea umana è una superficie dello spazio tridimensionale, pertanto se si vuole ottenere una soluzione che la descriva ci si dovrà restringere al caso tridimensionale. Si è stabilito di poter ragionevolmente individuare tale superficie come condizione di equilibrio tra le forze che agiscono su di essa: la tensione superficiale, l’elasticità e la pressione endo-oculare, oggetti descritti nelle formule attraverso opportuni operatori matematici dai nomi spaventosi come “gradiente” e “divergenza”, detti operatori differenziali perché coinvolgono le derivate della funzione cercata. Come dominio di esistenza della soluzione viene considerata una sfera di raggio fissato e centrata nell’origine del sistema di riferimento: dal momento che la superficie della cornea può essere approssimata ragionevolmente bene per mezzo di superfici dotate di una certa “rotondità” – quelle che in matematica si chiamano superfici di rotazione – la scelta di questo insieme è ricaduta sulla sfera; anche in questo caso, non ci è dato sapere qual è l’aspetto di una sfera quadridimensionale o piucchetridimensionale, ma è una questione che qui non ci limita perché vogliamo analizzare un pezzo del mondo fisico, pertanto la matematica dietro le sue quinte lavorerà in tre dimensioni. Dunque, sfruttando il fatto che sotto opportune condizioni alcuni attributi della cornea sono noti, è stato generato un problema che descrive la situazione delle tre forze in equilibrio – è infatti un’equivalenza: un’equazione, detta equazione differenziale perché contiene degli operatori differenziali; e la sua soluzione, se esiste, rappresenta la superficie incognita. Come prima: dalle tracce all’indiziato.
Il lavoro di ricerca su questo tema è ancora ampio: le applicazioni di questa equazione differenziale non sono state ancora del tutto sviscerate da scienze applicate come la medicina e la biologia. Quanto c’è di più complesso: trasferire l’idea, imbrigliata nella rigorosa rete dei simboli matematici, nell’universo delle cose tangibili, nel mondo esperibile attraverso i sensi; che al contrario è imperfetto, fluido e rumoroso. È un atto di fede al contrario: saltare dalla logica granitica della matematica pura, indubitabile anche se non la vediamo e non la tocchiamo, all’ambigua solidità del mondo fisico in cui siamo immersi.
Note:
1 “Radial solutions of the Dirichlet problem for a class of quasilinear elliptic equations arising in optometry”, Archivio della Ricerca di Trieste https://arts.units.it/handle/11368/2932001#.YVsk4ZpBxPY
2 “Radially symmetric solutions of an anisotropic mean curvature equation modeling the corneal shape”, American Institute of Mathematical Sciences http://www.aimsciences.org/article/doi/10.3934/proc.2015.0297
3 “The Dirichlet problem for a prescribed anisotropic mean curvature equation: existence, uniqueness and regularity of solutions”, Semantic Scholar https://www.semanticscholar.org/paper/The-Dirichlet-problem-for-a-prescribed-anisotropic-Corsato-Coster/c759af1f3f06f6a78dce33e1daaaaf81099b265f
di Rossella Marvulli
